默比乌斯带:只有一面的魔环

小时候手工课,经常有要把纸裁成带然后再粘成环的活要干。这个任务即使对小朋友来说也是很简单的。但有时总会有些马大哈会犯糊涂,在把纸带两端粘成环之前不小心翻了个面,纸环就变得歪歪斜斜的了。

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这也不是什么大事,撕了重粘就好了。但是,既然纸环已经变成这样了,何妨把玩一番呢?要知道,这就是鼎鼎有名的默比乌斯带。

很多读者应该都知道默比乌斯带的特别之处:它只有一个面,也只有一条边。在数学上,这样的曲面有一个特别的名字:单侧曲面。怎么证明它只有一个面呢?很简单,我们用红笔在上面沿着它的走向画一条线(不跨越边沿),在笔回到起点的时候,我们会发现红笔已经涂过了纸环的所有面。如图:

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这就可以很好说明默比乌斯带只有一个面了。

如果我们在普通的纸环上面做同样的操作的话,当笔回到起点时容易知道还有一面没有涂过,所以普通纸环不是单侧曲面,实际上每个人都知道它有两个侧面。

如果我们沿着这条红线把环剪开,会得到什么呢?

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相信很多朋友都知道了,我也就不卖关子了:这个纸环会被剪成一个中间旋转了两个半圈的大纸环:

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但是,可能没有多少人留意到,经过一番摆弄,这个纸环可以变成一个两层的“默比乌斯带”。之所以要加引号,是因为这个毕竟也是双侧曲面,而不像真正的默比乌斯带那样是单侧曲面。

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要做到同样的效果,我们也可以用两层纸带用类似做默比乌斯带的方法来粘贴,只不过两层纸要分别粘贴而已。

好了,回到那个剪了一次的纸环那里去。如果我们再剪一次,会发生什么事情呢?现在这个纸环已经是不是单侧曲面了,所以剪开以后应该至少出现两个环。问题是,那会是怎么样的两个环呢?

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好了,结果出来了,是两个和刚才一样的纸环,不过这两个纸环是套在一起的。

如果我们摆弄一下,能把它们弄成刚才没有开剪之前的大纸环的一个双层版本。

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再摆弄一下,又能把它们弄成一个四层的“默比乌斯带”。

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可以证明,如果我们这样不停的剪下去,每次剪出来的都是一样的纸环(中间有两圈旋转的),而且都套在一起,还能弄成一个多层的“默比乌斯带”。一个不大严谨的证明应该是不复杂的。(提示:将每次剪出来的都套成多层“默比乌斯带”,然后剪开就成了多层的两个半圈旋转大纸环,又能套成多层的“默比乌斯带”)

那么,这东西有什么用呢?

首先,这东西既然是数学家做出来的,肯定是有理论上的意义的。事实上,这是数学家发现的第一个单侧曲面。

在积分理论发展的过程中,由于曲面通常有两侧,所以人们要给曲面定个方向才能进行积分。但是,当时还没有人知道是否存在这样的曲面,它只有一侧从而无法在它上面确定一个积分的方向。

而默比乌斯带正是这样的一个单侧曲面,它只有一个侧面从而无法定向。所以这类曲面又有一个名字叫“不可定向曲面”。

由于默比乌斯带只有一个面,这个面的长度自然就是普通纸环一面长度的两倍了。有人想到将这个特性用到传送皮带上,这样的话就可以把磨损分摊到更多的地方,从而提高皮带的寿命。这个想法还获得了美国的专利。

利用默比乌斯带的想法获得的专利还不止这一个。还记得那个两层“默比乌斯带”吗?不记得也没有关系,看下图:

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如果我们把纸带想像成金属带,让电流由其中一个夹子流入而从另一个夹子流出的话,在纸带表面的电流有两个可能的流动方向,而这两个方向的电流产生的磁场恰好互相抵消。也就是说,电流在这个装置流动的时候不会产生磁场,所以也不会有电池感应的现象发生。这就是一个无电感电阻。这种电阻就叫默比乌斯电阻。

默比乌斯带在艺术和文化作品中也经常被引用,作为“无限循环”的一个象征。国际通用的循环再造标志就是一个绿色的、摆放成三角形的默比乌斯带。在《哆啦A梦》(小叮当)漫画中,就有一个形状是默比乌斯带的道具,只要把它放在门把手上,里边的人开门就会回到同一个房间里去。如果我们看科学馆门前的环状雕塑,多半也利用了类似默比乌斯带的性质,有空的话经过这些雕塑可以数一下这些环有多少个面多少条边沿,我估计绝大部分结果都是1。而至于埃舍尔的例子就更是众人皆知,也不用我饶舌了。

实验室中也有可能产生默比乌斯带形状的粒子。前不久,一群科学家在Journal of Chemical Physics上发表了一篇论文,其中预言了一种默比乌斯带形状的碳单质(准确来说应该是石墨烯)。它能抵抗摄氏200度左右的温度,算是相当稳定。由于它默比乌斯带的结构,它应该是一个偶极子,从而可以形成稳定的晶体。现在就等科学家们把它实际做出来了。

这一切,都是由数学家看到一个粘错的纸环开始的。

 

Bonus1:

又是来自xkcd的漫画:(http://xkcd.com/381/

 

Bonus2:

想要一个金属做的默比乌斯带的朋友,你们有福了!野驴设计了默比乌斯带形状的松鼠会纪念品!心动的话请移步到http://songshuhui.net/archives/11435.html来订购吧!以下是效果图:

默比乌斯指环,装备后+43敏捷,+46耐力,增加命中等级25点,增加攻击强度86点,再加上松鼠会的松鼠光环,实在是行走在艾泽拉斯大陆和现实世界上的必备佳品啊!

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