从化圆为方到选择公理

注:这篇小文是给果壳网死理性派写的,是那种“短平快浅”的文章,虽然其实跟我心目中的“好文章”有点差距(主要是“营养不足”),但是姑且还是放一放吧。

虽然是原作者,但是因为版权已经给了果壳网,所以还是要申明一下:

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源地址:http://www.guokr.com/article/6620/

下面开始正文(无图版,有图版请到上面地址观看,顺带一句,图片不是我选的,不过据我所知部分来自wikipedia,有啥事不要找我):

化圆为方,与三等分角、倍立方并称古希腊三大几何作图问题。给定一个圆,它要求我们用圆规和直尺画出一个面积相等的正方形。这个坑一挖开,从古希腊到现在不断有人往里跳。直到解析几何的出现,人们才从根本上证明了这个问题的不可能性:化圆为方相当于作出π的平方根,但尺规作图只能进行四则运算和开平方,对作为超越数的π无能为力。但这并不能阻挡某些“数学爱好者”的脚步。至今仍有人往这个大坑里跳,而且摔得乐此不疲。

有人跳坑,也就肯定有人耍点小聪明绕道而行。达·芬奇这位聪明人就想了一个很简单的办法:假设圆半径为r,造一个半径为r高度为r/2的圆柱体,它的侧面面积恰好就是πr^2。接下来就好办了,用绳子把圆柱体的“腰围”和“身高”量一下,放到纸上形成一个矩形,然后用直尺圆规来将这个矩形化为正方形就好了。

这个方法相当狡猾,用“度量”的方法巧妙避开了“作出π的平方根”的这个问题。当然,在欧几里德这些希腊人的眼中,这种方法只是取巧,因为一来不精确,二来太犯规,用了直尺圆规以外的工具。即使用直尺和圆规来度量也不行,尺规作图的规定就是,直尺只能拿来画直线,圆规则是画圆,它们不能有“度量”的这个功能。

那如果我们用更基本的东西来完成任务呢?比如说将圆切成几块,然后拼成一个正方形?那虽然不能说是“尺规作图”,但在某种意义上比尺规作图更基本,不是吗?

数学家塔斯基在1925年提出的,正是这样一个挑战。用更精确的数学语言来说,就是要求把平面上的单位圆盘分割成有限块,每一块是一个点集,然后通过平移和旋转这些保持面积的方法,将这些点集拼成面积相同的正方形。怎么分割都无所谓,甚至是没办法做出来的分割也可以,唯独是“有限块”这种限制不能去掉。如果能分割成无限块的话,那就太简单了,只要把单位圆盘“磨成细末”,每一块都只有一个点的话,那别说是拼成正方形,就是拼成一幅对联也问题不大。即使是犯规,也是有底线的。

这乍听起来是个很无理的问题。别的先不说,要把圆变成正方形,总要先处理那弯弯的圆周吧?看起来无论怎么切,只要是有限块,那恐怕也不能将弯曲的边界拗成直线。实际上,可以证明,如果是只用剪刀这样的工具的话,从数学上来说就是每一块的边界都是简单闭合曲线的话,这个任务是不可能做到的。但是,原来的题目中也没有限制只能用剪刀。只要是“点集”,无论是否连在一起,都符合要求,所以希望还有,不过就是更“犯规”一点而已。

在1990年,匈牙利数学家Laczkovich终于肯定地解答了塔斯基的这个问题。他证明了这样的先割后补的“化圆为方”方法是存在的。美中不足的是,他并没有实际给出一个割补的方法,而只是证明了这样的方法存在,而且粗略估计需要将圆切成大约10的50次方个点集。而更为犯规的是,这些点集是没有面积的。这些点集甚至不是面积为0,而是我们根本无法定义它们的面积。在数学上,这些无法定义面积的点集叫不可测集。为了定义这些集合,Laczkovich在证明中大量使用了选择公理,这是定义不可测集的唯一方法,也是令我们不能明确构造分割方法的原因。[注1]

尽管现在大多数数学家都会自然地运用选择公理和它的各种变种,但在20世纪初,公理集合论起步伊始之时,是否允许使用选择公理曾经是热门的争论话题之一,而且直接间接地与针对数学基础的第三次数学革命有关。整场风波围绕着一个问题:什么是可以被接受的数学推理?这场关于数学基础的争论持续了几十年才慢慢平息下来。其中也产生了一些饶有趣味的结果,比如说同样利用选择公理,我们可以将一个球分成几个不可测集,然后用这几个不可测集拼成两个和原来相同大小的球!尽管在直观上很难接受,但在数学上这的确成立。这个定理叫巴拿赫-塔斯基悖论,这位塔斯基正是提出上文中问题的那位塔斯基。

如果提出尺规作图化圆为方问题的希腊人来到今天,看到这个犯规的割补法竟然与数学推理的基础有着联系,他们会作何感想呢?

注1:关于不可测集与选择公理,可以参见木遥在科学松鼠会上的文章《长度是怎样炼成的》。

———————我是文章结束的分割线———————

其实还有另一篇,不过那个太坑爹了连我都不好意思往这里放……

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2 thoughts on “从化圆为方到选择公理

  1. 师弟你好,我是Charlie Zhang的师兄(也是HFer),你这些blog很有趣啊!
    指出一点,即使解析几何建立了,也不能解决“化圆为方”是尺规不能问题,证明它尺规作图不能需要用Galois的理论(域扩张)以及π是无理数的结论。
    Keep focusing !

    • “无理数”其实应该是“超越数”,已更正。
      其实无须用到域扩张,稍摆弄一下公式也是可以证明这一点的,当然用域扩张的话也可以。不过本来这个文章面对的群体就是数学不太好的人,如果再写一个域扩张出来的话那就彻底没人看了……

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