有限单群:一段百年征程

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本文在科学松鼠会发表,链接:http://songshuhui.net/archives/57697

1832年的某个清晨,革命中的法国见证了又一次决斗。在某个瞬间,某位青年被对手的枪射中腹部,随后去世。在当时狂热的政治斗争中,只有寥寥数人意识到,法国,甚至世界,又失去了另一个伟大的头脑。这位青年姓伽罗华,他的最大遗产围绕着一个数学概念:群。

在接下来的一百多年后,一群在世界各地的数学家,沿着这位青年开辟的路径,对有限群的结构进行了彻底的分析。其中的发现,可能出乎所有人的意料。

这是一个关于群的故事,这是一个关于单群的故事。

高度抽象的对称


[from http://web.bentley.edu/empl/c/ncarter/vgt/index.html]

什么是群?一个数学家可能会给你这样的回答:

一个群是一个集合G以及在G上的一个运算·,满足以下三个条件:
1. 存在一个G中的元素e,使得对于G中的任意元素x,有x=x·e=e·x。这样的e叫做群的单位元
2. 对于G中的任意元素x,y,z,有(x·y)·z=x·(y·z),这是结合律
3. 对于G中的任意元素x,存在G中的一个元素y,使得e=x·y=y·x。这样的y被称为x的逆元

这样的定义,即使是对一名刚进大学的数学系学生来说也稍显抽象。但数学的力量就在于它的抽象。它什么都不是,所以它什么都是。

整数和加法就构成一个群。什么数加上0都不变,所以0是单位元;a+(b+c)=(a+b)+c,这是小学的加法结合律;一个数加上它的相反数是单位元0,所以相反数就是逆元。正实数和乘法也构成一个群,1是它的单位元,乘法有结合律,倒数是逆元。如果我们认为9点+5点相当于9点的5个小时后,也就是2点的话,就连时钟也构成一个群。宝石的晶体构造,电脑的压缩校验算法,以至于魔方的还原,无不牵涉“群”这个概念。而对于自然界的各种对称性,群也是对其最自然的描述方式。难怪有人会说,群就是对称,研究群,就是研究各种对称性。

正是由于放弃了与现实的对应,像群这样的抽象数学概念才能在现实中获得广泛的对应。我们研究群,并不关心它的具体元素是什么,是x,y,z还是姬十三、猛犸、桔子都无所谓,只要知道元素通过运算产生的关系就够了,这就是群的全部。只要符合群的公理,能应用到x,y,z上的结论就能应用到姬十三、猛犸、桔子上,这就是抽象的力量。

超越时代的孤独

也正由于这种抽象,群的概念在一开始并没有很快地被接受。

伽罗华是在研究一元五次方程的根式解时开始触及群的概念的。对于一元二次方程来说,我们可以将方程的所有解写成有关方程系数的一个根式(允许四则运算和开常数次方运算组成的式子),这称为方程的根式解。对于三次以及四次方程,也有这样的公式,可以直接从方程的系数得到方程的所有解。然而,对于五次以及更高次的方程来说,此前阿贝尔已经证明一般的公式并不存在。伽罗华要解决的,是判断何时存在这样的根式表达。

为了解决这个问题,他首次定义了群这种代数结构,仔细地研究了群的各种性质,以及它与更高级的一种代数结构——域——的关系,并以此发展了一套理论,完整地解决了这个问题。他写下了关于这套理论与高次方程根式解的备忘录,并将其递交到法兰西科学院。

他的不幸从此开始。

这份备忘录的评审人是柯西。虽然认识到了伽罗华工作的重要性,柯西却没有接受这份备忘录,而是建议伽罗华修改这份备忘录以竞逐科学院的数学奖。

伽罗华接受了这个建议,第二次提交了备忘录。

天意弄人,评审人傅里叶之后不久就逝世了,伽罗华的备忘录不知所踪。

伽罗华决定最后一搏,但这也被泊松驳回,理由是“无法理解”。当消息传到伽罗华耳中时,他早已因为政治斗争而身陷囹圄,此时离他的决斗只有半年时间。

没有人理解他的理论,或者说没有人愿意去理解他的理论。

就是这套理论,使伽罗华的名声流芳百世。尽管他无法发表他的备忘录,但他此前发表的论文讲述了这个理论的一些基础。泊松的驳回理由,使他更认真地打磨他的理论,以冀数学界的认同。

但死神的镰刀没有给他这个时间,上天不打算给他安排生前的荣耀。1832年5月30日,年方二十的伽罗华,迎来了他第一次也是最后一次的决斗。这场决斗的细节已经被时间之砂打磨掩盖,什么对手,什么原因,有人说是为了爱情,有人说对手背后有政治阴谋,众家各执一词。我们只知道,在这场决斗中,伽罗华腹部中枪,不久后魂归天国。

“不要哭,阿尔弗雷德!在二十岁死去,我需要我的全部勇气。”这就是他对弟弟说的最后一句话。

而决斗前夕给他的朋友Chevalier的信,可以算是他对世界的遗言。信中密密麻麻地写着他的数学理论,他正在思考的问题,他脑中的一切。他大概冀图某天,世界能够通过这封信,理解他。

幸而,Chevalier实现了他挚友的意愿。伽罗华的理论,现在以他的名字命名:伽罗华理论。

也就是这封信,吹响了一场百年战役的号角。

构筑对称的砖块


[from http://terrytao.wordpress.com]

在伽罗华理论,乃至于更广泛的群的理论中,有一个很重要的概念:正规子群。

我们以下只讨论那些只有有限个元素的群,它们被称为有限群。例如,魔方操作组成的群就是有限群,因为变化的可能性是有限的。而整数与加法组成的群则不是有限群,因为整数有无限个。

在一个群里,有些元素自己会组成一个小圈子。它们并非不与外界交流,但无疑它们喜欢抱团:小圈子内的元素经过运算得到的结果仍然在这个小圈子里,而它们的逆元也在小圈子里。简而言之,这个小圈子对于原来的运算也组成一个群。这样的小圈子,叫做群的子群。

有些子群比别的子群更特别,它们不仅自己是一个群,如果“除”原来的群,得到的也是一个群。这样的子群叫做正规子群,而它们对原来的群作“除法”得到的群叫商群。首先观察到并提出正规子群这个概念的,正是伽罗华。

通过研究更简单的正规子群和商群,我们可以得到群的很多性质。这就是数学家特别钟爱正规子群的原因。

如果我们将正规子群和商群看成群的一种分解的话,那么必定有着不能被继续分解的群,我们将之称为单群。

对于任意的有限群,我们可以将其分解成一串单群,而且这样的分解是唯一的。单群在有限群论中的地位,跟素数在数论中的地位,还有原子在化学中的地位一样:它们都是构建它们所在世界的砖块。通过研究这些“砖块”,我们可以知道它们组成的各种结构的性质。如果能列出所有有限单群,就能从一个侧面了解所有离散的对称性的性质。

有限单群就是这个故事的主角。

与化学家当年寻找新元素的动机一样,数学家也开始了对有限单群的寻找。他们想做的跟化学家做的差不多:列一个单群的“元素周期表”。不过数学家要做的任务多了一项:证明这个“周期表”包含了所有的单群。

这看起来不太容易,事实正是如此。

转眼百年的长征


[Higman-Sims graph, its isomorphism group induces Higman-Sims group, from Wikipedia]

伽罗华是寻找有限单群当之无愧的第一人。是他首先发现所谓的交错群A_n对于所有n>=5都是单群,从而不是可解群。正是从这个结果出发,他证明了高于五次的方程一般而言没有根式解。而数学家此前对数论的研究也容易导出另一族的单群:素数阶的循环群Z_p。它们也是唯一的交换单群,也就是说运算满足交换律(a·b = b·a)的单群。

无需太纠结为何这些群取这样的名字。对于数学家而言,群就像是宠物,给宠物取的名字可能反映了宠物的性格,也可能是纯粹的趣味。但名字毕竟只是名字,只是称呼这些群的一种方式而已。

像这样整个家族出现的单群,还有16族所谓的有限李群,它们可以看作离散域上的矩阵组成的群。对它们的系统化研究是由挪威数学家Sophus Lie开始的,所以后人以此命名。而其中首先被发现的是所谓的射影特殊线性群PSL_n(q),其中q是一个素数的幂。在伽罗华生命最后的那封信上,就已经提到PSL_2(p)对于大于3的素数p是单群。后来Chevalley对其进行了更深入的研究,将其推广到一般的素数的幂。对于其余的15族有限李群,Chevalley也功不可没。

除了这一共18个有限单群家族之外,还有26个单独存在的有限单群。它们不属于任何一个家族,而它们之间也没有一个统一的联系,三三两两各自放浪于数学天地之间。数学家给他们起了个相当适合的名字:散在单群。它们是单群中自成一派的例外。成家族出现的单群结构总是相似的,而散在单群却各有各的美丽。

同时进行的则是证明这就是所有的有限单群,这就是所谓的有限单群分类定理。如果将寻找单群比作在森林里抓兔子的话,有限单群分类定理的证明则是确保森林里所有的兔子都被抓光了。这就要求数学家对森林的地形——也就是有限群的结构——有一定的了解。

从某种意义上,整个证明可以追溯到1872年的Sylow定理。这个定理不仅使数学家开始明白有限群更深层的结构,也为后来对各种群的分类讨论提供了武器。而真正明确提出对有限单群分类的,则是1892年的Hölder。他同时也证明了,每一个非交换有限单群的元素个数,是至少四个不同素数的乘积。

从此开始便是百年的征程,对数学家更不利的一面是,出发的时候还不知道森林里有多少兔子要抓。事实上,分类定理的证明和对有限单群的寻找,很大程度上是交错叠积的。有时是证明的途中,忽然找到了又一个新的有限单群;有时是对于已有的单群的研究启发了证明。这也是可以理解的,毕竟这是研究同一件事物的两条路径。

所以,当1983年Gorenstein宣称有限单群分类定理被证明之时,群论学界可是欢呼雀跃。整个证明散落在各期刊的500多篇论文之中,合计过万页,每篇论文都对某种特殊情况进行了处理。将这些特殊情况合起来,覆盖了绝大多数的有限群类别,而Gorenstein认为,他的新论文恰好补上了仍未处理的那些有限群,从而完成了整个分类定理的证明。

问题是,他弄错了。他以为一类名为“拟薄群”(quasi-thin group)的类别已经被处理好了,但事实上没有。直到2004年,由Aschbacher和Smith撰写的一篇一千多页的论文才将这个情况完全处理妥当,从而填补了这个漏洞。此时,有限单群分类定理,这个有限群理论的圣杯,才正式被圆满证明。

18个有限单群家族,再加上26个散在单群,这就是所有的有限单群。从伽罗华开始历时一个多世纪,跨越两次世界大战的搜索,随着1976年最后一个散在单群被发现,2004年有限单群分类定理的最终证明,这场数学家和有限单群之间的捉迷藏游戏才告结束。这个列表,包含着数代数学家辛勤的汗水,大概还有不少的咖啡、粉笔、墨水和纸。

故事仍未结束。在所有有限单群中,那些散在单群特别令人在意。它们的出现看似无章可循,没有什么必然的规律。但是,尽管有着“散在单群”这个名字,它们并非与世隔绝之徒。最有名的例子,莫过于那个最大的散在单群——魔群(Monster Group)。

意料之外的联系

魔群是在1973年被Fischer和Griess分别独立发现的。虽然它是最大的散在单群,但它并不是最后一个被发现的。实际上,“魔群”这个名字就源于它庞大的体积。魔群的准确元素个数是808017424794512875886459904961710757005754368000000000,也就是大概8*10^53个。与之相比,太阳系的原子个数也就是大约10^57个,仅仅高了两个数量级。如果我们用线性空间和矩阵变换来表示魔群的话,我们至少需要一个196883维的线性空间,才能忠实表达魔群的整体结构。这种表达方式又被称为群的线性表示。

也正是由于魔群如此庞大,所以一开始数学家们并没有直接将它构造出来,而只能指出它的存在性。发现魔群的Griess,也要几个月后,才最终把魔群的元素个数计算出来。而魔群的直接构造,要等到9年后的1982年。那年,Griess提出了一个名为Griess代数的代数结构,而魔群恰好就是这个代数结构的自同构群。换句话说,魔群恰好刻画了Griess代数的所有对称性。值得一提的是,Griess代数的维度是196884,比196883多1。

如果说每一族单群和每一个散在单群代表一种对称性的话,那么魔群一定有着非同寻常的对称性。体积如此庞大的群,却仍然是一个不可分解的单群,这本来就是个奇迹;而且与那些成系列的量产型单群不同,它的结构和对称性还是独一无二的。用个物理上不太恰当的比喻,如果第二大的散在单群是一颗无暇的钻石的话,按照比例,魔群大概就是一颗完全由钻石组成的星球,而且透明得能从一边看到另一边的星空。

如果说如此瑰丽的魔群,仅仅是数学中的一个与世隔绝的孤岛的话,那数学之神未免太浪费了。

而此时,在数学的另一个领域——数论,另一群数学家正在研究一些完全不同的东西。

模形式理论是数论的一个分支,它研究的正是模形式。模形式是复平面上满足一定性质的函数,它们跟一类叫“椭圆曲线”的数学对象密切相关。椭圆曲线是平面上的一类曲线,它经过的整点有一种自然的群的结构,而对这些群的结构的研究可以获得整数的很多性质,包括轰动一时的费马大定理的证明。

在模形式理论中,有一个特殊的函数占据着相当重要的地位,它叫j不变量。它的历史也不短,各种性质已经被数学家们研究得相当透彻了,也为模形式理论的发展立下过汗马功劳。它可以干净利落地展开成如下的傅立叶级数,其中每个系数都是整数:

其中是不是有个数字很眼熟?对,就是第二个傅立叶系数196884,正好是Griess代数的维数,也就是魔群的最小忠实线性表示的维数加1。这仅仅是个巧合,还是有某种内在的联系?

当John McKay在上个世纪七十年代末将这个发现告诉Conway时(顺带一提,这位就是发明“生命游戏”的那个Conway),他们并不认为这是一个单纯的巧合。如果是3或者5这种小数字,那巧合或许还能解释,但196884的话,说是巧合未免过于牵强,“有某种尚未发现的内在联系”这个解释听起来更加合理。Conway和另一位数学家Norton随后发现,j不变量的其它傅立叶系数也与魔群的所谓不可约表示的维数有着紧密的联系:这些傅立叶系数恰好可以表示成不可约表示维数的一些简单的线性组合。这就远远不是巧合能够解释的问题了。

在这些基础上,Conway和Norton提出了他们的所谓“魔群月光猜想”。他们猜想,存在一个基于魔群的无限维代数结构,通过魔群的不可约线性表示,它恰好给出了j不变量的所有傅立叶系数,而魔群每一个元素在这个代数结构上的作用,都自然地给出了与某个群相关的模形式。这其中牵涉到的数学,即使笔者也无从驾驭,需要长时间的学习,方能领会个中美妙滋味。

“魔群月光”这个名字,奇怪地带着些浪漫色彩,但这不过是错觉。“月光”的原文是“moonshine”,在俚语中的意思毫不浪漫,反而是用作形容那些带点疯狂的主意。这就是当时Conway听到这个巧合之时的反应。即使对于最有想象力的数学家来说,要承认数论中被研究得相当透彻的j不变量,与有限群论这个不太相关的领域中新发现的魔群有着这么紧密的联系,这个主意也未免有些疯狂。

但更疯狂的还在后头。

不久,数学家们构造出了一个被称为魔群模(Monster Module)的特殊代数结构,被认为极有可能是满足魔群月光猜想的那个代数结构。要构造这个代数结构,首先要从一个名为Leech格的代数结构开始(顺带一提,这个代数结构有着特殊的对称性,可以构造出数个散在单群),构造一个24维的环面。在这个环面上的玻色弦理论,通过共形场论中的顶点算子来表达,就是魔群模。换句话说,联系着有限群论中的魔群与数论中的j不变量的魔群模,实际上是一个高维空间中的弦理论,表达的是某个高维空间中的可能的物理理论。

数学的两个不同分支,居然通过理论物理被联系了起来。

接下来的事情,就是证明魔群模的确满足了魔群月光猜想。这项工作在1992年由Brocherds完成,证明同时包含了数学和物理,其中用到了弦论中的No-ghost定理来构造证明中必不可少的一个代数结构,Brocherds也由于这个证明获得了菲尔兹奖。通过这个定理架起的桥梁,数学家们也发现了魔群、模函数和弦理论之间更多的千丝万缕的联系。甚至有人过于疯狂地设想,魔群也许就代表着我们这个宇宙终极的对称性。

如果伽罗华仍然在世的话,会对这种柏拉图式的设想有什么看法呢?不过毫无疑问的是,他一定会赞叹他的后继者在他之后,在他铺设的地基上建起的这些晶莹无暇的数学理论。

不应重现的叹息

有限单群分类定理是有限群理论的一块里程碑,标志了我们对所有有限对称性的系统理解的开端。对于魔群的研究,也引发了数学家对散在单群的兴趣。关于有限单群的各种研究,至今方兴未艾。

在这个关于单群的故事中,最值得关注的就是整个故事的起点,也就是伽罗华。他的研究奠定了整个有限单群研究的基础。超越时代的他,活着的时候是个孤独的研究者,但现在,谁谈到群论又能绕过他呢?

在数学的天空中,伽罗华宛如一颗匆匆划过的璀璨流星。他的身体太单薄,无法承受时代的狂风;但他发出的光芒,照亮了整个天空,被不同的人以不同的形式记录下来,并将长久不息。以他的名字命名的各种数学概念,已经产生了深远的影响。这使人不禁思考:如果没有那场决斗,他将会做出多大的成就呢?然而,历史没有假设。

这使人不禁想起同为法国人的化学家拉瓦锡的遭遇。在拉瓦锡被构陷上断头台后,数学家拉格朗日的叹息是:“砍下这颗头颅只需一瞬,但百年的等待可能仍不足以使其重现。”一根有智慧的芦苇,需要整个社会长期的积淀产生的土壤,方能破土而出。但芦苇总归是芦苇,命运无常,须臾即可毁去;即便是它脚下的土壤,赤炎燎原,十年亦成焦土。伽罗华的悲剧,现在还在很多地方,以不同的形式,或明或暗地上演着。

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